公众号：考研数学基础
应用场景准研究生们，你们好！考研数学中，计算二重积分，除了在直角坐标系下化为二次积分，还可以在极坐标系下化为二次积分。对于一些特殊的函数，或者特殊的积分区域，化为极坐标系下的二次积分，可以大大简化计算。还等什么，让我们一起开始学习吧！
概念说明1.极坐标与直角坐标的关系此外，在直角坐标系中，我们用平行于x轴和y轴的直线，“切割”积分区域(如下图所示)。显然小区域d=dxdy。那么，在极坐标系下是怎样的呢?
在极坐标系中，r=1表示圆心在极点O上，半径为1的圆。所以r=常数，表示一族半径不同的同心圆(圆心都为极点)。同样的，θ= /3表示从极点O出发的一条射线，射线与极轴的正向的夹角为/3。所以θ=常数，表示从极点出发的一族射线。现在我们用一族同心圆和一族射线来“切割”积分区域，如下图所示：
此时,我们在和这个范围里，取出一个小区域为d。d的一条边是直线，沿着极径方向(射线方向)，长度为dr。d的另一条边是弧线，弧长为dθr(扇形的弧长=弧度*半径)。则d=dθrdr(近似看作两条边分别为dr和dθr的矩形)。则我们有下面的结论：
我们再来看看dθdr有什么含义：dθ表示角度的改变量；dr是沿着极径方向(射线方向)的增量。表示一段长度。直接相乘得到的dθdr，就是角度的改变量乘以长度的改变量，这是毫无意义的。所以，极坐标下d=dθrdr，一定不要漏掉r。否则，你就不是在做二重积分。因为你的微元根本就不是积分微元！注意：d=dθrdr，一定不要漏掉r！
2.选择用极坐标系的一般原则核心：选择用极坐标系，是因为我们想让计算变简单。则：要么是被积函数在极坐标系下变得很简单，要么是积分区域在极坐标系下变得很简单。因此：
说明：只要满足① ②中的任何一个，优先考虑用极坐标系计算。否则就用直角坐标系。
3.优先使用对称性计算二重积分时，无论你是在直角坐标系下计算，还是在极坐标系下计算。能用对称性的，都要优先使用对称性。例：
总结：
- 本题的积分区域适合使用极坐标系计算。但在使用极坐标系计算前，我们依次用了：普通对称性，轮换对称性来简化计算。
- 若积分区域关于y轴，x轴，y=x都对称：可以同时用普通对称性和轮换对称性。此时，关于x的奇函数(如x,x^{3},xy,sinxcosy等)积分值为0, 关于y的奇函数积分值也为0。同时如x^{2},y^{2}和ax^{2}+by^{2}(a≠b)都可以用轮换对称性，化为极坐标系下容易积分的形式。
4.经典例题本题带给我们以下启示；
- 积分区域不是常见的区域时：可以用描点法画出大致的图形。要点为：求交点，用好对称性，用一阶导数判断曲线方程的增减性，复杂的可以用二阶导数判断其凹凸性。
- 本题的被积函数并不是适合采用极坐标系计算的类型。但是：积分区域从极点引出一条射线，该射线与区域的边界只有两个交点，所以可以考虑用极坐标系。同时，如果使用直角坐标系，我们很难简单的求得积分的上限和下限，这是本题使用极坐标系计算的重要原因。
记忆方法函数简单或有圆，考虑极坐标系算：用极坐标系后，被积函数变得很简单；或者积分区域由圆，圆环，或者圆的一部分组成，就可以考虑用极坐标计算。注意微元要写全，对称性质要优先：一旦使用极坐标计算，就要把微元写对，不要掉了r；无论是使用极坐标计算，还是使用直角坐标计算，都要优先使用对称性(包括普通对称性和轮换对称性)进行简化。
回眸一笑二重积分在直角坐标系下怎么计算，你还记得吗？ 如果你了然于胸，就为今天的收获开心地笑一个！如果忘了，就赶快去看前面的文章，巩固一下吧！
考研杂谈考研数学中，使用极坐标系，一定要要写对微元，若掉了r，则必然出错；这反倒不如别人直接用直角坐标系慢慢地算出来。所以一定要使用自己熟练的，完全掌握了的方法来解决问题。《史记·周本纪》记载:周幽王宠爱褒姒(bāo sì)，便废掉了现在的太子宜臼，想立褒姒的儿子伯服为太子。宜臼的外公申侯很生气，未经深思熟虑，便贸然联合缯国和西夷犬戎，一起反叛周幽王。周幽王点燃烽火，诸侯却都没有来救援。为什么呢？当然是他为博得美人一笑，烽火戏诸侯，而且还戏了很多次。所以，诸侯就都不信烽火了。叫天天不应，叫天地地不灵。于是，周幽王便被杀死在了骊山脚下。但是，西夷犬戎并不满足于此。他们攻入西周的国都镐京，烧杀抢掠，将所有的财宝洗劫一空，还掳走了褒姒。自此，西周灭亡。镐京已经成为了一片焦土，周王室的力量也远不如从前，为了躲避犬戎的威胁，后来的周平王只能迁都到洛邑。申侯自己不能掌控好犬戎，却想借用其力量，解决自己的问题。竟然使得一个国家灭亡！教训不可不谓惨重！所以，一旦你要用极坐标系，就一定要确保自己把微元写对！否则，不如不用！今日例句：Bree discovered she had a romantic rival.
