π不完全是π,揭秘巴拿赫空间中的π奥秘

特性

度量空间

赋范空间

巴拿赫空间

希尔伯特空间

核心定义

距离函数

d(x,y)

范数|⋅|

(向量空间)

完备的

赋范空间

完备的

内积空间

线性结构

❌ 无向量加法/数乘

✅ 是向量空间(R/C)

✅ 继承赋范空间线性结构

✅ 继承巴拿赫空间线性结构

距离定义

✅ d(x,y)≥0

✅由范数诱导：

d(x,y)=|x−y|

✅ 同赋范空间

✅ 由内积诱导：

d(x,y)=⟨x−y,x−y⟩

范数定义

❌ 仅距离无范数

✅ |x|≥0

✅ 继承赋范空间范数

✅ 由内积诱导：

|x|=⟨x,x⟩

内积定义

❌

❌

❌

✅ ⟨x,y⟩（诱导角度和正交性）

完备性

可选(可完备可不完备）

可选（可完备可不完备）

✅ 所有柯西序列收敛到空间内

✅ 继承巴拿赫空间完备性

长度

❌ 仅距离

✅ 由范数 |x| 定义

✅ 同赋范空间

✅ 同巴拿赫空间

角度

❌

❌

❌

✅ cos⁡θ=⟨x,y⟩/(|x||y|)

正交性

❌

❌

❌

✅ ⟨x,y⟩=0

平行四边形法则

❌

❌一般不成立

❌一般不成立

✅ 恒成立：

|x+y|²+|x−y|²=2(|x|²+|y|²)

投影定理

❌

❌

❌

✅ 闭凸集有唯一最近点

对偶空间特性

❌ 无泛函分析结构

对偶空间 X∗ 存在但不一定同构于 X

对偶空间 X∗是巴拿赫空间，但 X∗≇X(一般)

✅ H∗≅H（Riesz 表示定理）

离散型

离散度量空间d(x,y)=1 if x≠y

❌ 无线性结构

❌

❌

有限维

Rⁿ(欧氏距离）

Rⁿ(任意 p-范数）

Rⁿ(任意 p-范数）

Rⁿ(仅标准内积p=2)

序列空间

❌

ℓ^p(不完备时如 p<1 的非赋范空间)

ℓ^p(1≤p≤∞)

ℓ²（平方可和序列）

函数空间

C()上确界距离

C()上确界范数

C(上确界范数下完备

L²(Ω)平方可积函数

特殊案例

球面测地距离

有理数集 Q（绝对值范数，不完备）

L^p(Ω)（p≠2)

量子态空间

<φ|Φ>